Bentuk Aljabar I

Pengertian dalam Bentuk Aljabar

Variabel, Koefisien, Konstanta, Faktor, Suku, dan Suku Sejenis

Bentuk Aljabar adalah bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui...

Dengan kata lain, bentuk aljabar adalah cara penulisan angka yang belum ada nilainya - 2x, 7y²; itu tidak diketahui berapa kecuali kita tahu berapa x atau y.

Dalam bentuk aljabar, ada yang dikenal sebagai koefisien, variabel, konstanta, faktor , suku dan suku sejenis. Contohnya, bentuk aljabar di bawah ini:

7x²

• Variabel dalam bentuk aljabar di atas adalah x.
• Koefisien dalam bentuk aljabar di atas adalah 7. Ingat, kalau sukunya tidak ada angka, konstantanya 1.
• Faktor dari 7x² adalah 1, 7, 7x, 7x², x, dan x².
• 7x² adalah satu suku. Karena tidak ada suku lain, dia disebut suku tunggal.

Untuk contoh yang kedua, 

7x + y² - 5x²y + 6x + 92

• Ada konstanta di bentuk aljabar kedua ini, yaitu 92.
• Ada 5 suku di bentuk variabel ini.
• Ada 1 pasang suku sejenis, yaitu 7x dan 6x. Semua suku lainnya tidak sejenis.

Konjungsi, Implikasi, biimplikasi, tautologi dan kuantor

Konjungsi

Konjungsi adalah cara menghubungkan dua pernyataan dengan menggunakan kata 'atau'. Konjungsi bernilai salτah jika paling tidak ada salah satu pernyataan yang salah dan hanya bernilai benar jika semua pernyataan benar. Konjungsi dilambangkan dengan ∧

Contoh:

p: 1+1=2 (benar)

j: 4 adalah bilangan genap (Benar)

τ (p ∧ j) = Benar

p: 1+1=2 (Benar)

j: 5 adalah bilangan genap (Salah)

τ (p ∧ j) = Salah

Implikasi

Implikasi yang juga disebut pernyataan bersyarat/ kondisional adalah pernyataan yang disusun dari 2 pernyataan dengan bentuk jika … maka … . Implikasi dilambangkan dengan ⇒. Implikasi tidak berlaku sebaliknya (p⇒q tidak sama dengan q⇒p).

Pernyataan	p	q	p ⇒ q	q ⇒ p
	B	B	B	B
	B	S	S	B
	S	B	B	S
	S	S	B	B

Biimplikasi

Bimplikasi yang juga disebut pernyataan bersyarat/ kondisional adalah pernyataan yang disusun dari 2 pernyataan dengan bentuk … jika dan hanya jika … . Bimplikasi dilambangkan dengan ⇔. Tidak seperti implikasi, biimplikasi bersifat 2 arah/ bisa dibalik (p⇔q sama dengan q⇔p).

Pernyataan	p	q	p ⇔ q	q ⇔ p
	B	B	B	B
	B	S	S	S
	S	B	S	S
	S	S	B	B

Negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi juga dapat disatukan dalam suatu persoalan.

Contoh soal: Cari τ[~(p ∨ ~q)]

Pernyataan	p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ∧ p	{(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q
	B	B	B	B	B
	B	S	S	S	B
	S	B	B	S	B
	S	S	B	S	B

Maka τ[{(p ⇒ q) ∧ p}⇒q] = B B B B

Tautologi

Nilai kebenaran pernyataan yang selalu benar seperti {(p ⇒ q) ∧ p}⇒q disebut tautologi.

Ada beberapa tautologi yang sering dipakai , antara lain:

-Kontraposisi

-Aturan De' Morgan

- Reductio ad absurdum

-dll.

Kuantor Universal

Kuantor Universal adalah Pernyataan yang memakai kata 'semua' dan dapat ditulis ulang dengan implikasi. (tidak semua implikasi dapat ditulis dengan Kuantor universal). Kuantor universal dilambangkan dengan ∀

Contoh: Semua A adalah B (A ∀ B)

Jika A maka B

p: Bilangan asli

q: Bilangan cacah

Semua bilangan asli adalah bilangan cacah. (p ∀ q)

Jika x adalah bilangan asli, maka x adalah bilangan cacah.

Kuantor Ekstensial

Kuantor ekstensial yang dinyatakan dengan lambang ∃ berarti sebagian(atau sekurang-kurangnya ada 1)

Contoh: p: ayam

q: warna coklat

Beberapa ayam berwarna coklat (∃ p Є q)

Pernyataan, Negasi, Disjungsi

Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat deklaratif (dapat bersifat terbuka atau tertutup), dan sering dilambangkan dengan huruf kecil.

Contoh: Pernyataan p bahwa besi adalah benda padat

dilambangkan dengan p: Besi adalah benda padat

Pernyataan n bahwa 1+1=2

ditulis n: 1+1=2

Kalimat tertutup memiliki nilai kebenaran benar atau salah, dan dilambangkan dengan τ

Tulisan kali ini akan membahas tentang negasi (ingkaran), disjungsi (atau), Konjungsi (dan), implikasi (jika), biimplikasi (jika dan hanya jika).

Negasi

Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan dengan menambahkan kata tidak/bukan didepan pernyataan tsb. Kata 'tidak/ bukan' tersebut dalam logika matematika ditulis sebagai negasi/ ingkaran dan dilambangkan dengan ~

Contoh : pernyataan p: 2 adalah bilangan prima (τp = B)

maka ~p: 2 bukan bilangan prima (τ ~p = S)

pernyataan n: 1 + 1 = 3 (τn = S)

maka ~n: 1 + 1 bukan 3 (τ ~n = B)

Maka dari contoh diatas kita dapat menyimpulkan bahwa jika pernyataan tsb benar, negasinya salah, dan berlaku pula sebaliknya.

Persamaan	p	~p
τ	B	S
	S	B

Disjungsi

Disjungsi adalah cara menghubungkan dua pernyataan dengan menggunakan kata 'atau'. Disjungsi bernilai benar jika paling tidak ada salah satu pernyataan yang benar dan dilambangkan dengan ∨

Contoh:

p: 1+1=2 (benar)

j: 5 adalah bilangan genap (Salah)

τ(p ∨ j) = Benar

p: 1+1=3 (Salah)

j: 5 adalah bilangan genap (Salah)

τ(p ∨ j) = Salah

(B=Benar, S=Salah)

Selanjutnya: Konjungsi, Implikasi, biimplikasi, tautologi dan kuantor

PLSV - Persamaan Linear 1 Variabel

Kalimat Tertutup dan Terbuka

Perhatikan contoh-contoh berikut!

• 1 + 3 = 4

• jika y bilangan asli, maka 2y adalah bilangan genap.

• 2 + 2 = 5

Pernyataan-pernyataan seperti diatas yang bernilai benar atau salah disebut kalimat tertutup.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih belum dapat ditentukan benar atau salahnya

Contoh kalimat terbuka

• x + 3 = 5

• □ - 2 = 92

Yang membuat perbedaan pada kalimat terbuka dan tertutup adalah ada / tidaknya variabel / peubah (contoh: x , □ )

Jika variabel diubah dengan angka atau sering juga disebut konstanta, kalimat tersebut akan menjadi kalimat tertutup.

PLSV

Apa itu PLSV?

PLSV adalah singkatan dari Persamaan Linear Satu Variabel yang berarti sebuah persamaan dengan 1 variabel atau peubah. PSLV termasuk kalimat terbuka karena mengandung variabel.

Contoh : x + 3 = 5

5y – 10 = 35

Cara menyelesaikan PSLV

Cara menyelesaikan PSLV sangat mudah , hanya dibutuhkan kemampuan penggunaan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Ingat pada persamaan ruas kiri dan kanan harus selalu sama.

Contohnya: 3x + 2 = 5

                    3x +2 -2 = 5 -2 (kedua ruas dikurangj 2)

                    3x = 3

                    3x : 3 = 3 : 3 (kedua ruas dibagi 3)

                     x = 1 (selesai)

Irisan, Gabungan, Komplemen, dan Selisih Himpunan

Irisan
Irisan 2 Himpunan adalah himpunan yang terdiri dari anggota-anggota yang terdapat baik dalam himpunan yang satu maupun yang lainnya dan dilambangkan dengan ⋂.
Contoh
A={1,2,3,4}
B={2,3,4,5}
Maka  A ⋂ B = {2,3,4}

Gabungan
Gabungan 2 Himpunan adlah himpunan yang terdiri dari semua anggota kedua himpunan dan dilambangkan dengan ⋃
Contoh
A={1,2,3,4}
B={2,3,4,5}
Maka A ⋃ B ={1,2,3,4,5}

Komplemen
Komplemen suatu himpunan adalah anggota yang tidak terdapat pada himpunan tersebut dan biassanya dilambangkan dengan petik tunggal ' 

Contoh
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B={1,2,3,4,5}
Maka B' = {6,7,8,9}

Selisih 2 himpunan.
Selisih himpunan A dan B adalah anggota yang ada di A tapi tidak ada di B
Contoh
A={0,1,2,3,4}
B={2,3,4,5,6}
Maka A - B = {0,1}
dan     B - A ={5,6}
 

Hubungan antar HImpunan

Himpunan saling lepas v/s Himpunan tidak saling lepas

Himpunan yang saling Lepas adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota yang sama dan dilambangkan dengan tanda ᜶
Contoh
Jika A={1,2,3}
dan  B={4,5,6}
maka A ᜶ B

Himpunan tidak saling lepas adalah himpunan yang mempunyai paling tidak 1 anggota yang sama
Contoh

Jika A={1,2,3,4}
dan  B={3,4,5,6}
maka A dan B tidak saling lepas

Himpunan yang sama

Himpunan yang sama adalah himpunan yang memiliki anggota sama, tapi tidak tergantung urutan.
Contoh
Jika A= {1,2,3}
 dan B= {2,3,1)
maka A=B

Himpunan yang Ekuivalen

Himpunan yang ekuivalen adalah Himpunan yang memiliki jumlah anggota sama.
Contoh

Jika A={1,2,3,4}
dan  B={3,4,5,6}
maka A ekuivalen dengan B

Himpunan

Apa itu Himpunan?

Himpunan adalah kelompok benda yang terdefinisi secara jelas. 

Contoh dari himpunan= Kumpulan angka dari 1 sampai 10; himpunan hari-hari dalam satu minggu; Tapi yang berikut bukan himpunan= kumpulan buku bagus; kumpulan lukisan yang indah (bagus dan                                                                         i                                                          indah bersifat relatif / tergantung orang yang menilai)

Lambang Himpunan

Himpunan dilambangkan dengan kurung kurawal '{}'.  Setiap anggota himpunan dipisahkan dengan koma ','. Didalam sebuah himpunan, tidak boleh terdapat anggota yang sama. Himpunan kosong (tidak ada anggota kadang dilambangkan sebagai ø

Contoh: Himpunan L yang beranggotakan angka dari 1- 3 

              L = {1,2,3}

              Himpunan K yang beranggotakan huruf penyusun kata " LABEL"

              K = {L, A, B, E}

              BUKAN

              K = {L, A, B, E, L} karena huruf L ditulis 2 kali

              Himpunan Kosong O

              O =  ø

Angotta Himpunan

Himpunan B memiliki anggota 1, 2, 3, 4 maka

B={1 , 2 , 3 , 4}

Kita dapat bilang bahwa '3' merupakan anggota himpunan dari B. Lambang dari anggota himpunan adalah ϵ. maka dapat ditulis

3 ϵ B

Tapi 7 bukanlah anggota himpunan B maka ditulis

7 ∉ B

Himpunan Bagian

Misal A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)

          B = {1,2,3}

Maka B adalah himpunan bagian dari A

Segala himpunan yang terbentuk dari himpunan R disebut himpunan bagian R.

Perbedaan Angota Himpunan dan Himpunan Bagian

Anggota Himpunan adalah suatu anggota yang terdapat dalam himpunan.

Himpunan Bagian adalah Himpunan yang terbentuk dari himpunan lain