Konjungsi, Implikasi, biimplikasi, tautologi dan kuantor

Konjungsi

Konjungsi adalah cara menghubungkan dua pernyataan dengan menggunakan kata 'atau'. Konjungsi bernilai salτah jika paling tidak ada salah satu pernyataan yang salah dan hanya bernilai benar jika semua pernyataan benar. Konjungsi dilambangkan dengan ∧

Contoh:

p: 1+1=2 (benar)

j: 4 adalah bilangan genap (Benar)

τ (p ∧ j) = Benar

p: 1+1=2 (Benar)

j: 5 adalah bilangan genap (Salah)

τ (p ∧ j) = Salah

Implikasi

Implikasi yang juga disebut pernyataan bersyarat/ kondisional adalah pernyataan yang disusun dari 2 pernyataan dengan bentuk jika … maka … . Implikasi dilambangkan dengan ⇒. Implikasi tidak berlaku sebaliknya (p⇒q tidak sama dengan q⇒p).

Pernyataan	p	q	p ⇒ q	q ⇒ p
	B	B	B	B
	B	S	S	B
	S	B	B	S
	S	S	B	B

Biimplikasi

Bimplikasi yang juga disebut pernyataan bersyarat/ kondisional adalah pernyataan yang disusun dari 2 pernyataan dengan bentuk … jika dan hanya jika … . Bimplikasi dilambangkan dengan ⇔. Tidak seperti implikasi, biimplikasi bersifat 2 arah/ bisa dibalik (p⇔q sama dengan q⇔p).

Pernyataan	p	q	p ⇔ q	q ⇔ p
	B	B	B	B
	B	S	S	S
	S	B	S	S
	S	S	B	B

Negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi juga dapat disatukan dalam suatu persoalan.

Contoh soal: Cari τ[~(p ∨ ~q)]

Pernyataan	p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ∧ p	{(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q
	B	B	B	B	B
	B	S	S	S	B
	S	B	B	S	B
	S	S	B	S	B

Maka τ[{(p ⇒ q) ∧ p}⇒q] = B B B B

Tautologi

Nilai kebenaran pernyataan yang selalu benar seperti {(p ⇒ q) ∧ p}⇒q disebut tautologi.

Ada beberapa tautologi yang sering dipakai , antara lain:

-Kontraposisi

-Aturan De' Morgan

- Reductio ad absurdum

-dll.

Kuantor Universal

Kuantor Universal adalah Pernyataan yang memakai kata 'semua' dan dapat ditulis ulang dengan implikasi. (tidak semua implikasi dapat ditulis dengan Kuantor universal). Kuantor universal dilambangkan dengan ∀

Contoh: Semua A adalah B (A ∀ B)

Jika A maka B

p: Bilangan asli

q: Bilangan cacah

Semua bilangan asli adalah bilangan cacah. (p ∀ q)

Jika x adalah bilangan asli, maka x adalah bilangan cacah.

Kuantor Ekstensial

Kuantor ekstensial yang dinyatakan dengan lambang ∃ berarti sebagian(atau sekurang-kurangnya ada 1)

Contoh: p: ayam

q: warna coklat

Beberapa ayam berwarna coklat (∃ p Є q)

Pernyataan, Negasi, Disjungsi

Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat deklaratif (dapat bersifat terbuka atau tertutup), dan sering dilambangkan dengan huruf kecil.

Contoh: Pernyataan p bahwa besi adalah benda padat

dilambangkan dengan p: Besi adalah benda padat

Pernyataan n bahwa 1+1=2

ditulis n: 1+1=2

Kalimat tertutup memiliki nilai kebenaran benar atau salah, dan dilambangkan dengan τ

Tulisan kali ini akan membahas tentang negasi (ingkaran), disjungsi (atau), Konjungsi (dan), implikasi (jika), biimplikasi (jika dan hanya jika).

Negasi

Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan dengan menambahkan kata tidak/bukan didepan pernyataan tsb. Kata 'tidak/ bukan' tersebut dalam logika matematika ditulis sebagai negasi/ ingkaran dan dilambangkan dengan ~

Contoh : pernyataan p: 2 adalah bilangan prima (τp = B)

maka ~p: 2 bukan bilangan prima (τ ~p = S)

pernyataan n: 1 + 1 = 3 (τn = S)

maka ~n: 1 + 1 bukan 3 (τ ~n = B)

Maka dari contoh diatas kita dapat menyimpulkan bahwa jika pernyataan tsb benar, negasinya salah, dan berlaku pula sebaliknya.

Persamaan	p	~p
τ	B	S
	S	B

Disjungsi

Disjungsi adalah cara menghubungkan dua pernyataan dengan menggunakan kata 'atau'. Disjungsi bernilai benar jika paling tidak ada salah satu pernyataan yang benar dan dilambangkan dengan ∨

Contoh:

p: 1+1=2 (benar)

j: 5 adalah bilangan genap (Salah)

τ(p ∨ j) = Benar

p: 1+1=3 (Salah)

j: 5 adalah bilangan genap (Salah)

τ(p ∨ j) = Salah

(B=Benar, S=Salah)

Selanjutnya: Konjungsi, Implikasi, biimplikasi, tautologi dan kuantor

PLSV - Persamaan Linear 1 Variabel

Kalimat Tertutup dan Terbuka

Perhatikan contoh-contoh berikut!

• 1 + 3 = 4

• jika y bilangan asli, maka 2y adalah bilangan genap.

• 2 + 2 = 5

Pernyataan-pernyataan seperti diatas yang bernilai benar atau salah disebut kalimat tertutup.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih belum dapat ditentukan benar atau salahnya

Contoh kalimat terbuka

• x + 3 = 5

• □ - 2 = 92

Yang membuat perbedaan pada kalimat terbuka dan tertutup adalah ada / tidaknya variabel / peubah (contoh: x , □ )

Jika variabel diubah dengan angka atau sering juga disebut konstanta, kalimat tersebut akan menjadi kalimat tertutup.

PLSV

Apa itu PLSV?

PLSV adalah singkatan dari Persamaan Linear Satu Variabel yang berarti sebuah persamaan dengan 1 variabel atau peubah. PSLV termasuk kalimat terbuka karena mengandung variabel.

Contoh : x + 3 = 5

5y – 10 = 35

Cara menyelesaikan PSLV

Cara menyelesaikan PSLV sangat mudah , hanya dibutuhkan kemampuan penggunaan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Ingat pada persamaan ruas kiri dan kanan harus selalu sama.

Contohnya: 3x + 2 = 5

                    3x +2 -2 = 5 -2 (kedua ruas dikurangj 2)

                    3x = 3

                    3x : 3 = 3 : 3 (kedua ruas dibagi 3)

                     x = 1 (selesai)

Irisan, Gabungan, Komplemen, dan Selisih Himpunan

Irisan
Irisan 2 Himpunan adalah himpunan yang terdiri dari anggota-anggota yang terdapat baik dalam himpunan yang satu maupun yang lainnya dan dilambangkan dengan ⋂.
Contoh
A={1,2,3,4}
B={2,3,4,5}
Maka  A ⋂ B = {2,3,4}

Gabungan
Gabungan 2 Himpunan adlah himpunan yang terdiri dari semua anggota kedua himpunan dan dilambangkan dengan ⋃
Contoh
A={1,2,3,4}
B={2,3,4,5}
Maka A ⋃ B ={1,2,3,4,5}

Komplemen
Komplemen suatu himpunan adalah anggota yang tidak terdapat pada himpunan tersebut dan biassanya dilambangkan dengan petik tunggal ' 

Contoh
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B={1,2,3,4,5}
Maka B' = {6,7,8,9}

Selisih 2 himpunan.
Selisih himpunan A dan B adalah anggota yang ada di A tapi tidak ada di B
Contoh
A={0,1,2,3,4}
B={2,3,4,5,6}
Maka A - B = {0,1}
dan     B - A ={5,6}
 

Hubungan antar HImpunan

Himpunan saling lepas v/s Himpunan tidak saling lepas

Himpunan yang saling Lepas adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota yang sama dan dilambangkan dengan tanda ᜶
Contoh
Jika A={1,2,3}
dan  B={4,5,6}
maka A ᜶ B

Himpunan tidak saling lepas adalah himpunan yang mempunyai paling tidak 1 anggota yang sama
Contoh

Jika A={1,2,3,4}
dan  B={3,4,5,6}
maka A dan B tidak saling lepas

Himpunan yang sama

Himpunan yang sama adalah himpunan yang memiliki anggota sama, tapi tidak tergantung urutan.
Contoh
Jika A= {1,2,3}
 dan B= {2,3,1)
maka A=B

Himpunan yang Ekuivalen

Himpunan yang ekuivalen adalah Himpunan yang memiliki jumlah anggota sama.
Contoh

Jika A={1,2,3,4}
dan  B={3,4,5,6}
maka A ekuivalen dengan B

Himpunan

Apa itu Himpunan?

Himpunan adalah kelompok benda yang terdefinisi secara jelas. 

Contoh dari himpunan= Kumpulan angka dari 1 sampai 10; himpunan hari-hari dalam satu minggu; Tapi yang berikut bukan himpunan= kumpulan buku bagus; kumpulan lukisan yang indah (bagus dan                                                                         i                                                          indah bersifat relatif / tergantung orang yang menilai)

Lambang Himpunan

Himpunan dilambangkan dengan kurung kurawal '{}'.  Setiap anggota himpunan dipisahkan dengan koma ','. Didalam sebuah himpunan, tidak boleh terdapat anggota yang sama. Himpunan kosong (tidak ada anggota kadang dilambangkan sebagai ø

Contoh: Himpunan L yang beranggotakan angka dari 1- 3 

              L = {1,2,3}

              Himpunan K yang beranggotakan huruf penyusun kata " LABEL"

              K = {L, A, B, E}

              BUKAN

              K = {L, A, B, E, L} karena huruf L ditulis 2 kali

              Himpunan Kosong O

              O =  ø

Angotta Himpunan

Himpunan B memiliki anggota 1, 2, 3, 4 maka

B={1 , 2 , 3 , 4}

Kita dapat bilang bahwa '3' merupakan anggota himpunan dari B. Lambang dari anggota himpunan adalah ϵ. maka dapat ditulis

3 ϵ B

Tapi 7 bukanlah anggota himpunan B maka ditulis

7 ∉ B

Himpunan Bagian

Misal A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)

          B = {1,2,3}

Maka B adalah himpunan bagian dari A

Segala himpunan yang terbentuk dari himpunan R disebut himpunan bagian R.

Perbedaan Angota Himpunan dan Himpunan Bagian

Anggota Himpunan adalah suatu anggota yang terdapat dalam himpunan.

Himpunan Bagian adalah Himpunan yang terbentuk dari himpunan lain

Tekanan

Tekanan

Tekanan adalah satuan yang menyatakan gaya per luas dan dinotasikan sebagai P (Pressure). Coba kalian remas sebutir telur dengan tangan kalian. Apakah telur tersebut akan pecah? Coba lagi dengan hanya menggunakan 1 jari. Pasti pecah kan? Nah, maka kalian tahu bahwa tekanan dipengaruhi luas.

Ada beberapa satuan tekanan. Satuan SI untuk tekanan adalah Pascal (Pa; juga sama dengan Newton per meter persegi)

Hukum Pascal
Hukum Pascal berbunyi: tekanan yang diberikan pada zat cair dalam suatu ruang tertup diteruskan ke segala arah sama besar.

Pemanfaatan Hukum Pascal

Dongkrak Hidrolik 

Dongkrak hidrolik adalah salah satu pemanfaatan hukum pascal. Pada penampang satu (yang kecil) gaya yang kamu kejakan adalah F1/A1. Pada penampang yang besar, gaya yang didapat adlah sama, maka F1/A1=F2/A2 .

Gaya Apung

Gaya apung adalah berat zat cair yang dipindahkan oleh benda. Gaya apung bisa juga didefinisikan sebagai berat di udara - berat di air. Prinsip Gaya Apung digunakan pada kapal dan kapal selam.

Bidang Miring dan Roda Gigi

Bidang Miring

Bidang miring adalah suatu permukaan datar yang miring (memiliki sudut tertentu terhadap permukaan tanah). Penerapan bidang miring dapat mengatasi hambatan besar dengan menerapkan gaya yang relatif lebih kecil melalui jarak yang lebih jauh, dari pada jika beban itu diangkat vertikal. KM untuk bidang miring adalah jarak dibagi tinggi.

Roda Gigi

Roda gigi atau gir adalah sepasang roda bergigi saling bersambungan yang dapat dipakai untuk mengurangi atau menambah gaya. Gir yang besar memberikan gaya yang lebih besar, namun kecepatan putarnya menurun. Begitu juga sebaliknya, gir yang kecil memberikan gaya yang kecil namun putarannya cepat.

Pesawat sederhana - Katrol

Katrol

Katrol adalah mesin sederhana yang terdiri dari sebuah roda beralur di mana seutas tali atau rantai dapat bergerak ulang alik.Katrol juga dapat dibagi menjadi 3 jenis, yaitu katrol tetap, bergerak, dan takal (gabungan beberapa katrol). Katrol  tunggal tetap adalah satu katrol yang diam pada tempatnya, dan hanya berfungsi untuk mengubah arah gerak (KM=1) Contohnya adalah kerekan bendera. katrol bergerak adalah sebuah katrol yangd dapat bergerak. contohnya : flying fox. KM dari katrol bergerak adalah 2. Takal adalah gabungan beberapa katrol, dan KMnya biasanya 2 atau lebih.

SELANJUTNYA - BIDANG MIRING

Pesawat Sederhana - tuas

Apa itu pesawat sederhana?

Pesawat sederhana adalah alat mekanik yang dapat mengubah arah atau besaran dari suatu gaya untuk mempermudah suatu usaha. Pada dasarnya, terdapat 4 jenis pesawat, yaitu tuas, katrol, bidang miring, dan roda gigi.

Tuas

Tuas adalah pesawat sederhana yang berbentuk batang keras sempit yang memiliki titik tumpu. Tuas memiliki 3 jenis. Tuas kelas pertama memilikifulkrum (titik tumpu) ditengah, tuas kelas kedua memiliki beban di tengah, dan tuas kelas ketiga memiliki kuasa ditengah. Setiap pesawat sederhana memiliki Keuntungan mekanis (KM) yang secara umum dideskripsikan sebagai beban dibagi dengan kuasa. Khusus untuk tuas, KM juga sama dengan lengan beban  dibagi lengan beban.

Materi selanjutnya- Katrol

Adding, Subtracting, Dividing, Multiplying, and Exponentiation of Algebraic Expressions

Make sure to visit my new math blog here!

Preface

Adding, subtracting, dividing, and multiplying, and exponentiation of algebraic expressions follows the PEMDAS operation order rule.

For more information, visit http://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html

Students have to know how to determine LCM and HCF (sometimes called GCD) , and can determine the factor(s) of an expression

Adding and Subtracting Algebraic Expressions

Adding and subtracting algebraic expression can only be done between similiar terms.

Examples:

7a + 2a - 4a = 5a

9a + 8b = 9a + 8b (a and b is not similar terms)

9xy² + 3x²y + 4x²y - 5xy² = 4xy² +7x²y

By adding and/or subtracting algebraic expression, we can get the simpler form of the expressions.

Multiplying Algebraic Expressions

Below are some example of multiplying algebraic expressions.

Division of Algebraic Expressions

If 2 algebraic expressions have the same factors, then the quotient of both expressions can be written in simple form by cancelling the same factors. Example:

The expression 3a and 4a have the same factor (a) so 3a : 4a = 3:4

Exponentiation of Algebraic Expression

Expontation is basically just multiplication several times, so (x + y)² is just (x+y)(x+y)

Algebra - Algebraic Expressions

Algebraic Expressions

Algebraic expressions are some expression that contains variable in it. In an algebraic expression, there are some notation, and the following chart will explain the four basic notations.

The parts of an algebraic expressions id called terms. Terms consists of variable, coefficient, and constants. Look at the example below!

                           

A Term can be made from : - a variable (e.g. x , y , a , etc.)

                                             - a product of 2 or more variables  ( xy , ab , etc.)

                                             - a product of coefficient and variable (-7x , 4ab, etc.)

                                             - a constant (3, 5, etc.)

An algebraic expression that consists of 1 term is called monomials

                                                               2 terms is called binomials

                                                               3, 4 or more terms is called polynomials

Look at the following algebraic expression!

12x^2 - 9x - 8y + 7xy - 4x^2 +5y

The above algebraic expression has 6 terms (12x^2 , -9x , -8y , 7xy , -4x^2 , 5y)

Some of them are similar (12x^2 and -4x^2 , -8y and 5 y). These are called similar terms. 

2 or more terms are called similar if they have the same variable having the same exponent. they can only differ in the value of their coefficients